Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Hallo, guten Morgen. Wir schauen uns gerade Phasenübergänge an, also sowas wie flüssig fest oder flüssig gasförmig.

Und das ist praktisch das wichtigste Kapitel der statistischen Physik.

Wir schauen das uns aber nicht an wirklich für so einen flüssigen Gasvermögenübergang, weil das ein bisschen komplizierter ist,

sondern wir schauen es uns an in einem anderen Modell, was dann schon alle universellen Phänomene beinhaltet, die man so in dem Zusammenhang verstehen kann.

Und das Modell ist ein Modell für den Magnetismus, nämlich das sogenannte Easing-Modell,

und das ist das einfachste Modell für den Magnetismus, wo die magnetischen Momente nur zwei Einstellungsmöglichkeiten haben.

Sie zeigen nach oben oder nach unten und sie koppeln miteinander.

Und wie immer ist so ein Modell definiert, in dem man angibt, was ist die Energie von irgendeiner beliebigen Konfiguration.

So wie wir früher hingeschrieben hätten, was ist die Energie davon, wenn N-Teilchen sich an irgendwelchen Orten im Raum aufhalten

und vielleicht auch ein Wechselwirkungspotenzial spüren. So schreiben wir jetzt eben auf, was ist die Energie,

wenn N-Spins in irgendeiner Konfiguration nach oben und unten weisen. Was ist dann die Energie?

Also wiederhole ich nochmal, wie die Energiefunktion aussieht.

Hier haben wir das Easing-Modell mit den Spins auf dem Gitter, die irgendwie in dem Moment,

wo ich meinen Schnappschuss mache, gerade zufällig verteilt sind. Und dieser Spin, sagen wir, der ist Sigma L.

Und ausgehend von diesem Spin sage ich, dass jeder Nachbar zur Energie beiträgt, und zwar je nachdem, wie er steht im Vergleich zu diesem Spin hier.

Und dann sagen wir, die Energie ist eine Summe über alle diese Spins L, ein Vorfaktor von der Dimension einer Energie.

Und ich definiere hier gleich gerne noch ein Minus hinzu. Und wenn ich dann summiere über alle Plätze,

muss ich zu jedem einzelnen Platz auch nochmal summieren über alle nächsten Nachbarplätze.

NN von L soll heißen, alle nächsten Nachbarn von L. Das hängt natürlich vom Gitter ab.

Und in dem Fall von dem Quadratgitter im zweitdimensionellen habe ich eben vier nächste Nachbarn.

Und dann werde ich einen Energiebeitrag bekommen, der von der relativen Einstellung abhängt.

Nun, die Werte von Sigma sind nur Plus oder Minus 1. Und wenn ich dann haben möchte, dass es am günstigsten ist,

dass zwei Spins in dieselbe Richtung weisen, dann sollte ich hier einen Term hinschreiben,

der möglichst groß ist, wenn sie in dieselbe Richtung weisen, damit dann die Energie klein ist.

Und das wird erfüllt dadurch, dass ich Sigma L mal Sigma I hier hinschreibe.

Denn wenn beide Plus 1 sind, ist es Plus 1. Aber auch wenn beide Minus 1 sind, ist es immer noch Plus 1.

Und umgekehrt, wenn jetzt die Spins antiparallel stehen, also hier Plus und da Minus,

dann gibt es hier ein negatives Vorzeichen. Und insgesamt ist die Energie dann positiv. Das ist schlecht.

Okay. Und dieses simple Modell definiert jetzt eigentlich alles, was man daraus ableiten kann,

gemäß der Boltzmann-Verteilung. Denn die Boltzmann-Verteilung sagt uns ja,

die Wahrscheinlichkeit, eine gewisse Konfiguration von Spins zu finden,

ist proportional zu E hoch Minus Beta mal eben die Energie dieser Konfiguration.

Wenn man das Ganze als Quantenmodell übrigens betrachtet, das kann man durchaus machen,

dann ist es eben so, dass es ein sehr einfaches Quantenmodell ist,

wo jede von diesen Konfigurationen schon ein Energieeigenzustand ist.

Und die Energie steht hier und dann ist die Wahrscheinlichkeit eben E hoch Minus Beta mal die Energie von diesem Energieeigenzustand.

Es gibt andere Modelle, wo es viel schwieriger ist, überhaupt erst die Energieeigenzustande zu finden,

aber in dem einfachen Ising-Modell ist jede Konfiguration, die ich mir ausdenken kann, schon ein Energieeigenzustand.

Okay. Das Schwierige ist nun aber, dass auf einem Gitter mit N Plätzen gibt es zwei Hoch-N-Konfigurationen.

Also exponentiell viele. Und das ist das grundlegende Problem von vielen Teilchen-Systemen,

dass es exponentiell viele Konfigurationen von diesen Teilchen gibt.

Und im Prinzip muss ich ja, wenn ich zum Beispiel die Zustandsumme ausrechne, über alle Konfigurationen summieren.

Und das sind exponentiell viele, also das macht die Sache schwierig.

Man hat jetzt Möglichkeiten zum Beispiel zu sagen,

ah Spaß ist halber, betrachte ich doch nur mal ein ganz kleines Gitter mit zwei mal zwei Spins.

Und dann findet man ganz grob auch schon die richtigen Tendenzen,

weil man hat ja in die Energie reingeschrieben, dass die Spins gerne in dieselbe Richtung weisen.

Und das wird man dann auch finden auf diesem kleinen Gitter.

Aber einen Phasenübergang wird man nicht finden.